Застосування циклічних мережних моделей у проектному менеджменті
Реферат на тему:
Застосування циклічних мережних моделей у проектному менеджменті
Значна частина невизначеності при складанні календарних планів з наявністю великої кількості робіт, багатьох учасників проекту, великої номенклатури використовуваних ресурсів, а також потреба в якісних планах вимагають ефективних методів вирішення цих складних задач [1].
Математичні методи моделювання реалізації проектів, які застосовувались до цього часу (класичні сіткові моделі [2], узагальнені [3, 4], імовірнісні [5] і стохастичні [6] сіткові моделі) не завжди є достатніми для модельованого процесу.
Запропонована нижче модель проектного менеджменту є синтезом узагальнених сіткових моделей із ймовірнісними і стохастичними, які достатньо враховують ризик і невизначеність при здійсненні проекту. Циклічні сіткові моделі (ЦММ) є гнучким інструментом для опису управління розробкою складного проекту. ЦММ мають всі переваги узагальнених і стохастичних моделей порівняно з традиційними мережними моделями, при цьому їх опис не надто складний.
Складний проект описується циклічною сітковою моделлю , що складається з набору подій і дуг (m,n) (події m та ), обумовлених матрицею суміжності . , причому задає детерміновану дугу (m,n), а визначає подію m, що з імовірністю зв’язана дугою з подією n. Набір дуг підрозділяється на дуги-роботи і дуги-зв’язки. Перші реалізують обсяг виробничої діяльності в часі, а інші – логічні зв’язки між останніми. Подіями можуть бути як кінцеві точки виконуваних робіт, так і їх проміжні стани.
Співвідношення між термінами здійснення подій, зв’язаних дугою (m,n), задається нерівністю:
, (1)
де – випадкова величина, яка може приймати додатні або від’ємні значення. Крім того, можливі абсолютні обмеження на момент реалізації події m:
або , (2)
Співвідношення (1), (2) є узагальненням відповідних нерівностей при описі узагальнених сіткових моделей [3], де параметр і матриця суміжності M носять визначений характер. Розглянемо значення співвідношення (1) при ймовірнісному характері параметру .
Якщо (m,n) є дугою-роботою (або її частиною), то позитивно розподілена випадкова величина задає розподіл її мінімальної тривалості при максимальному насиченні визначальним ресурсом. Плануючи максимально можливе використання ресурсу в певній роботі, ми очікуємо найкоротший час виконання. На процес впливають непередбачені перешкоди і випадковості, які зумовлюють ймовірнісний характер часу виконання, але найбільш ймовірний мінімальний час виконання роботи зміщується вправо відносно математичного сподівання. Внаслідок цього розподіл величини є унімодальним і асиметричним, а даним вимогам задовольняє бета-розподіл. Це було введено для оцінки тривалості робіт ще в системі PERT, а потім одержало аналітичні та емпіричні підтвердження [5]. Таким чином, мінімальна тривалість роботи є випадковою величиною , розподілена за законом бета-розподілу на відрізку [c,d] із щільністю
, (3)
де B визначається з умови .
Якщо ж випадкова величина в (1), що відповідає дузі-роботі (m,n), є від’ємною, то – задає розподіл максимальної тривалості роботи (m,n), при мінімальному насиченні визначальним ресурсом).
Приймаючи як значення цих випадкових величин їх найбільш ймовірні значення, ми одержуємо в окремому випадку двохоціночну ймовірнісну модель, де , а . Таким чином, ввід в (1) негативно розподілених величин для дуг-робіт (m,n) суттєво розширює можливості опису часових характеристик робіт, роблячи ймовірнісну модель одним з окремих випадків.
Для дуг-зв’язків (m,n) величина задає розподіл часової залежності між подіями m та n, причому позитивно розподілена величина визначає взаємозв’язок типу “не раніше” (подія n може наступити не раніше, ніж через днів після здійснення події m), а визначає взаємозв’язок типу “не пізніше” (подія n може наступити не пізніше, ніж через – днів після здійснення події n). В останньому випадку такі зв’язки називають “зворотними”.
Воропаєв, Лєбєдєва та інші у свої роботі [3] описують широкі можливості для встановлення технологічних зв’язків між роботами за допомогою детермінованих параметрів , тут ми маємо узагальнення цих зв’язків з урахуванням їх імовірнісного характеру.
Розглянемо додаткові можливості для опису процесу створення складного проекту, що дає ввід стохастичної матриці суміжності M в поєднанні з узагальненими зв’язками.
Нехай – деякий шлях, що з’єднує події m та n.
(4)
Назвемо шлях детермінованим, якщо для всіх справедливо , і стохастичним, у протилежному випадку. Таким чином, стохастичний шлях містить хоча б одну дугу, ймовірність “виконання” якої менша від 1. Тут під “виконанням” дуги розуміється виконання роботи чи виконання вимоги про часовій пов’язаності подій.
Аналогічно визначимо детермінований і стохастичний контур:
.
Нехай події m та n з’єднані шляхом , тоді ймовірність здійснення події n за умови, що подія m відбулася є добутком коефіцієнтів матриці суміжності M, що відповідають дугам сполучного шляху:
(5)
Якщо події m та n з’єднані декількома шляхами, то можна виконати еквівалентне GERT-перетворення даного фрагмента мережі відповідно до формул, наведених у роботі Філіпс Д. Та Гарсіа-Діас А., обчислити похідну функцію і ймовірність здійснення події n за умови, що подія m відбулася: .
Перша похідна функції / по z у точці z = 0 (перший момент ) визначає математичне сподівання часу здійснення події n щодо часу здійснення події m. Друга похідна функції / по z у точці z = 0 (другий момент дозволяє обчислити дисперсію часу здійснення події n щодо часу здійснення події m за формулою:
. (6)
Але GERT-перетворення фрагменту мережі стосовно обчислення ймовірності здійснення події n, з’єднаної стохастичними шляхами з однією альтернативною вершиною m, до якої веде детермінований повний шлях. Якщо ж до події n ведуть стохастичні шляхи з різних альтернативних вершин m, GERT-перетворення не застосовується, а пропонуються наступні рекурентні співвідношення:
, (7)
де – ймовірність здійснення m-ої події, і уже відомі для всіх m, строго попередніх n . З (7) випливає, що коли події n передує хоча б один повний детермінований шлях, то . Таку подію слід називати детермінованою, а в протилежному випадку – стохастичною.
Довжина шляху є випадковою величиною, математичне сподівання якої є сумою математичних сподівань довжин усіх дуг, що складають даний шлях, а дисперсія дорівнює сумі дисперсій. При цих умовах довжина шляху може приймати від’ємні значення.
Задачі часового аналізу ЦММ, також як і часовий аналіз класичних, узагальнених чи стохастичних сіткових моделей, лежать в основі рішення всіх календарних задач проектного менеджменту. Час є визначальним показником. Там де серйозно затягуються терміни виконання робіт – знижується якість виконання робіт, ростуть перевитрати ресурсів та бюджетних засобів. Задачі часового аналізу ЦММ мають важливе значення при рішенні задач керування проектом без обліку обмежень на ресурси, що використовується при створенні унікальних або важливих проектів.
Задачі часового аналізу ЦММ полягають у знаходженні випадкового вектора , де є часом здійснення m-ї події, координати якої задовольняють нерівностям (1), (2) і перетворюють у екстремум цільову функцію .
Можна виділити три класи задач часового аналізу:
класичні, у яких для обчислення використовуються математичні сподівання довжин усіх дуг;
ймовірнісні, у яких на основі граничної теореми Ляпунова або іншими аналітичними засобами [5] обчислюються математичні сподівання термінів здійснення подій – , що є аргументами функції ;
статистичні, у яких для заданого рівня ймовірності р визначаються р-квантильні оцінки емпіричних розподілів як термінів здійснення m-тих подій – , так і похідних величин, у тому числі значень цільової функції .
Вид цільової функції дозволяє обчислювати різні типи планів (ранні, пізні, стислі тощо), а також ряд необхідних показників (критичний шлях, резерви часу) для їх наступного самостійного чи допоміжного використання.
Циклічна сіткова модель є несуперечливою, якщо знайдеться хоча б один припустимий план, обчислений для відповідного класу задач часового аналізу (класичного, ймовірнісного чи статистичного), що задовольняє системі нерівностей (1), (2).
Для того, щоб циклічна модель, у якій тривалості дуг обчислені за класичною схемою, була несуперечливою із заданою ймовірністю p, необхідно і достатньо, щоб довжини всіх детермінованих контурів не були додатними.
Для того, щоб циклічна модель була ймовірнісно-несуперечливою, необхідно і достатньо, щоб математичні сподівання довжин усіх детермінованих контурів не були додатними. Вводиться ширше поняття -ймовірнісної несуперечності моделі.
Можна стверджувати, що ЦММ є ймовірнісно-несуперечливою, якщо існує > 0, таке що для всіх , що задовольняють нерівності , справедливі співвідношення (1), (2).
Для того, щоб циклічна модель була -ймовірнісною і несуперечливою, необхідно і достатньо, щоб математичні сподівання довжин усіх детермінованих контурів задовольняли співвідношенню .
Ймовірнісна несуперечність моделі є частковим випадком -ймовірнісної несуперечності при = 0.
При статистичному методі розрахунку параметрів сіткової моделі ми маємо справу з їх р-квантильними оцінками значень, що є теоретико-ймовірнісними аналогами відповідних показників [5]. Можна стверджувати, що циклічна стохастична модель статистично несуперечлива з ймовірністю р, якщо для кожної події m існують р-квантильні оцінки термінів здійснення подій , що задовольняють нерівностям:
, (8)
або . (9)
Тут співвідношення (8), (9) є ймовірнісними аналогами (1), (2), р-квантильна оцінка довжини дуги (m,n).
Для того, щоб циклічна модель була статистично несуперечливою з імовірністю р, необхідно і достатньо, щоб р-квантильні оцінки довжин усіх детермінованих контурів задовольняли співвідношенню . Наявність альтернативних вершин (з можливою появою стохастичних контурів) не приводить до несуперечності мережі.
Використовуючи розробку стислого плану для ЦММ р-квантильні оцінки термінів здійснення подій , одержуємо ймовірнісні р-квантильні оцінки стислих планів.
Резервам часу для роботи (m,n) тут відповідають їх р-квантильні аналоги, які обчислюються за формулами для повного і вільного резерву:
, (10)
. (11)
р-квантильні коефіцієнти напруги робіт обчислюються за формулою:
, (12)
де – р-квантильна оцінка критичного часу виконання проекту, – р-квантильна оцінка тривалості співпадаючого з критичним шляхом відрізку максимального шляху, що містить роботу (m,n). , причому, чим ближче до 1, тим менший резерв в запасі в роботи (m,n), отже, вищий ризик її невиконання в заданий термін.
Потім визначаються р-квантильна критична зона, р-квантильна зона резервів і р-квантильна проміжна зона [5]:
р-квантильна критична зона містить роботи з , де значення близьке до одиниці ;
р-квантильна зона резервів поєднує роботи зі значеннями , де близьке до нуля ;
р-квантильна проміжна зона містить роботи з .
Обчислені параметри використовуються при подальшому складанні оптимальних планів виконання робіт складного проекту.
ЦММ можна використовувати для оптимізації призначення та часового розподілу використання ресурсів. Крім того, ЦММ дозволяє будувати стислі плани комплексу проектів, визначати оптимальні потреби в ресурсах, контролювати реалізацію проектів за часовими показниками, використанням ресурсів і бюджетних засобів.
Література:
Воропаев В.И. Управление проектами в России. Основные понятия, история, достижения перспективы. – М.: Аланс, 1995. – 225.
Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х книгах. Кн. 1: Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 479 с.
Воропаев В.И., Лебедь Б.Я., Нудельман М.П., Орел Т.Я. Задачи и методы временного анализа календарных планов на обобщенных сетевых моделях. //Экономико-математические методы и АСУ в строительстве. – М.: НИИЭС, 1986. – 95 с.
Воропаев В.И. и др. Методические рекомендации по ресурсному анализу календарных планов на основе обобщенных сетевых моделей. – М.: ЦНИИЭС, 1990. – 86 с.
Голенко Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. – М., Наука, 1969. – 400 с.
Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. – М. Мир: 1984. – 496 с.
Застосування циклічних мережних моделей у проектному менеджменті
Значна частина невизначеності при складанні календарних планів з наявністю великої кількості робіт, багатьох учасників проекту, великої номенклатури використовуваних ресурсів, а також потреба в якісних планах вимагають ефективних методів вирішення цих складних задач [1].
Математичні методи моделювання реалізації проектів, які застосовувались до цього часу (класичні сіткові моделі [2], узагальнені [3, 4], імовірнісні [5] і стохастичні [6] сіткові моделі) не завжди є достатніми для модельованого процесу.
Запропонована нижче модель проектного менеджменту є синтезом узагальнених сіткових моделей із ймовірнісними і стохастичними, які достатньо враховують ризик і невизначеність при здійсненні проекту. Циклічні сіткові моделі (ЦММ) є гнучким інструментом для опису управління розробкою складного проекту. ЦММ мають всі переваги узагальнених і стохастичних моделей порівняно з традиційними мережними моделями, при цьому їх опис не надто складний.
Складний проект описується циклічною сітковою моделлю , що складається з набору подій і дуг (m,n) (події m та ), обумовлених матрицею суміжності . , причому задає детерміновану дугу (m,n), а визначає подію m, що з імовірністю зв’язана дугою з подією n. Набір дуг підрозділяється на дуги-роботи і дуги-зв’язки. Перші реалізують обсяг виробничої діяльності в часі, а інші – логічні зв’язки між останніми. Подіями можуть бути як кінцеві точки виконуваних робіт, так і їх проміжні стани.
Співвідношення між термінами здійснення подій, зв’язаних дугою (m,n), задається нерівністю:
, (1)
де – випадкова величина, яка може приймати додатні або від’ємні значення. Крім того, можливі абсолютні обмеження на момент реалізації події m:
або , (2)
Співвідношення (1), (2) є узагальненням відповідних нерівностей при описі узагальнених сіткових моделей [3], де параметр і матриця суміжності M носять визначений характер. Розглянемо значення співвідношення (1) при ймовірнісному характері параметру .
Якщо (m,n) є дугою-роботою (або її частиною), то позитивно розподілена випадкова величина задає розподіл її мінімальної тривалості при максимальному насиченні визначальним ресурсом. Плануючи максимально можливе використання ресурсу в певній роботі, ми очікуємо найкоротший час виконання. На процес впливають непередбачені перешкоди і випадковості, які зумовлюють ймовірнісний характер часу виконання, але найбільш ймовірний мінімальний час виконання роботи зміщується вправо відносно математичного сподівання. Внаслідок цього розподіл величини є унімодальним і асиметричним, а даним вимогам задовольняє бета-розподіл. Це було введено для оцінки тривалості робіт ще в системі PERT, а потім одержало аналітичні та емпіричні підтвердження [5]. Таким чином, мінімальна тривалість роботи є випадковою величиною , розподілена за законом бета-розподілу на відрізку [c,d] із щільністю
, (3)
де B визначається з умови .
Якщо ж випадкова величина в (1), що відповідає дузі-роботі (m,n), є від’ємною, то – задає розподіл максимальної тривалості роботи (m,n), при мінімальному насиченні визначальним ресурсом).
Приймаючи як значення цих випадкових величин їх найбільш ймовірні значення, ми одержуємо в окремому випадку двохоціночну ймовірнісну модель, де , а . Таким чином, ввід в (1) негативно розподілених величин для дуг-робіт (m,n) суттєво розширює можливості опису часових характеристик робіт, роблячи ймовірнісну модель одним з окремих випадків.
Для дуг-зв’язків (m,n) величина задає розподіл часової залежності між подіями m та n, причому позитивно розподілена величина визначає взаємозв’язок типу “не раніше” (подія n може наступити не раніше, ніж через днів після здійснення події m), а визначає взаємозв’язок типу “не пізніше” (подія n може наступити не пізніше, ніж через – днів після здійснення події n). В останньому випадку такі зв’язки називають “зворотними”.
Воропаєв, Лєбєдєва та інші у свої роботі [3] описують широкі можливості для встановлення технологічних зв’язків між роботами за допомогою детермінованих параметрів , тут ми маємо узагальнення цих зв’язків з урахуванням їх імовірнісного характеру.
Розглянемо додаткові можливості для опису процесу створення складного проекту, що дає ввід стохастичної матриці суміжності M в поєднанні з узагальненими зв’язками.
Нехай – деякий шлях, що з’єднує події m та n.
(4)
Назвемо шлях детермінованим, якщо для всіх справедливо , і стохастичним, у протилежному випадку. Таким чином, стохастичний шлях містить хоча б одну дугу, ймовірність “виконання” якої менша від 1. Тут під “виконанням” дуги розуміється виконання роботи чи виконання вимоги про часовій пов’язаності подій.
Аналогічно визначимо детермінований і стохастичний контур:
.
Нехай події m та n з’єднані шляхом , тоді ймовірність здійснення події n за умови, що подія m відбулася є добутком коефіцієнтів матриці суміжності M, що відповідають дугам сполучного шляху:
(5)
Якщо події m та n з’єднані декількома шляхами, то можна виконати еквівалентне GERT-перетворення даного фрагмента мережі відповідно до формул, наведених у роботі Філіпс Д. Та Гарсіа-Діас А., обчислити похідну функцію і ймовірність здійснення події n за умови, що подія m відбулася: .
Перша похідна функції / по z у точці z = 0 (перший момент ) визначає математичне сподівання часу здійснення події n щодо часу здійснення події m. Друга похідна функції / по z у точці z = 0 (другий момент дозволяє обчислити дисперсію часу здійснення події n щодо часу здійснення події m за формулою:
. (6)
Але GERT-перетворення фрагменту мережі стосовно обчислення ймовірності здійснення події n, з’єднаної стохастичними шляхами з однією альтернативною вершиною m, до якої веде детермінований повний шлях. Якщо ж до події n ведуть стохастичні шляхи з різних альтернативних вершин m, GERT-перетворення не застосовується, а пропонуються наступні рекурентні співвідношення:
, (7)
де – ймовірність здійснення m-ої події, і уже відомі для всіх m, строго попередніх n . З (7) випливає, що коли події n передує хоча б один повний детермінований шлях, то . Таку подію слід називати детермінованою, а в протилежному випадку – стохастичною.
Довжина шляху є випадковою величиною, математичне сподівання якої є сумою математичних сподівань довжин усіх дуг, що складають даний шлях, а дисперсія дорівнює сумі дисперсій. При цих умовах довжина шляху може приймати від’ємні значення.
Задачі часового аналізу ЦММ, також як і часовий аналіз класичних, узагальнених чи стохастичних сіткових моделей, лежать в основі рішення всіх календарних задач проектного менеджменту. Час є визначальним показником. Там де серйозно затягуються терміни виконання робіт – знижується якість виконання робіт, ростуть перевитрати ресурсів та бюджетних засобів. Задачі часового аналізу ЦММ мають важливе значення при рішенні задач керування проектом без обліку обмежень на ресурси, що використовується при створенні унікальних або важливих проектів.
Задачі часового аналізу ЦММ полягають у знаходженні випадкового вектора , де є часом здійснення m-ї події, координати якої задовольняють нерівностям (1), (2) і перетворюють у екстремум цільову функцію .
Можна виділити три класи задач часового аналізу:
класичні, у яких для обчислення використовуються математичні сподівання довжин усіх дуг;
ймовірнісні, у яких на основі граничної теореми Ляпунова або іншими аналітичними засобами [5] обчислюються математичні сподівання термінів здійснення подій – , що є аргументами функції ;
статистичні, у яких для заданого рівня ймовірності р визначаються р-квантильні оцінки емпіричних розподілів як термінів здійснення m-тих подій – , так і похідних величин, у тому числі значень цільової функції .
Вид цільової функції дозволяє обчислювати різні типи планів (ранні, пізні, стислі тощо), а також ряд необхідних показників (критичний шлях, резерви часу) для їх наступного самостійного чи допоміжного використання.
Циклічна сіткова модель є несуперечливою, якщо знайдеться хоча б один припустимий план, обчислений для відповідного класу задач часового аналізу (класичного, ймовірнісного чи статистичного), що задовольняє системі нерівностей (1), (2).
Для того, щоб циклічна модель, у якій тривалості дуг обчислені за класичною схемою, була несуперечливою із заданою ймовірністю p, необхідно і достатньо, щоб довжини всіх детермінованих контурів не були додатними.
Для того, щоб циклічна модель була ймовірнісно-несуперечливою, необхідно і достатньо, щоб математичні сподівання довжин усіх детермінованих контурів не були додатними. Вводиться ширше поняття -ймовірнісної несуперечності моделі.
Можна стверджувати, що ЦММ є ймовірнісно-несуперечливою, якщо існує > 0, таке що для всіх , що задовольняють нерівності , справедливі співвідношення (1), (2).
Для того, щоб циклічна модель була -ймовірнісною і несуперечливою, необхідно і достатньо, щоб математичні сподівання довжин усіх детермінованих контурів задовольняли співвідношенню .
Ймовірнісна несуперечність моделі є частковим випадком -ймовірнісної несуперечності при = 0.
При статистичному методі розрахунку параметрів сіткової моделі ми маємо справу з їх р-квантильними оцінками значень, що є теоретико-ймовірнісними аналогами відповідних показників [5]. Можна стверджувати, що циклічна стохастична модель статистично несуперечлива з ймовірністю р, якщо для кожної події m існують р-квантильні оцінки термінів здійснення подій , що задовольняють нерівностям:
, (8)
або . (9)
Тут співвідношення (8), (9) є ймовірнісними аналогами (1), (2), р-квантильна оцінка довжини дуги (m,n).
Для того, щоб циклічна модель була статистично несуперечливою з імовірністю р, необхідно і достатньо, щоб р-квантильні оцінки довжин усіх детермінованих контурів задовольняли співвідношенню . Наявність альтернативних вершин (з можливою появою стохастичних контурів) не приводить до несуперечності мережі.
Використовуючи розробку стислого плану для ЦММ р-квантильні оцінки термінів здійснення подій , одержуємо ймовірнісні р-квантильні оцінки стислих планів.
Резервам часу для роботи (m,n) тут відповідають їх р-квантильні аналоги, які обчислюються за формулами для повного і вільного резерву:
, (10)
. (11)
р-квантильні коефіцієнти напруги робіт обчислюються за формулою:
, (12)
де – р-квантильна оцінка критичного часу виконання проекту, – р-квантильна оцінка тривалості співпадаючого з критичним шляхом відрізку максимального шляху, що містить роботу (m,n). , причому, чим ближче до 1, тим менший резерв в запасі в роботи (m,n), отже, вищий ризик її невиконання в заданий термін.
Потім визначаються р-квантильна критична зона, р-квантильна зона резервів і р-квантильна проміжна зона [5]:
р-квантильна критична зона містить роботи з , де значення близьке до одиниці ;
р-квантильна зона резервів поєднує роботи зі значеннями , де близьке до нуля ;
р-квантильна проміжна зона містить роботи з .
Обчислені параметри використовуються при подальшому складанні оптимальних планів виконання робіт складного проекту.
ЦММ можна використовувати для оптимізації призначення та часового розподілу використання ресурсів. Крім того, ЦММ дозволяє будувати стислі плани комплексу проектів, визначати оптимальні потреби в ресурсах, контролювати реалізацію проектів за часовими показниками, використанням ресурсів і бюджетних засобів.
Література:
Воропаев В.И. Управление проектами в России. Основные понятия, история, достижения перспективы. – М.: Аланс, 1995. – 225.
Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х книгах. Кн. 1: Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 479 с.
Воропаев В.И., Лебедь Б.Я., Нудельман М.П., Орел Т.Я. Задачи и методы временного анализа календарных планов на обобщенных сетевых моделях. //Экономико-математические методы и АСУ в строительстве. – М.: НИИЭС, 1986. – 95 с.
Воропаев В.И. и др. Методические рекомендации по ресурсному анализу календарных планов на основе обобщенных сетевых моделей. – М.: ЦНИИЭС, 1990. – 86 с.
Голенко Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. – М., Наука, 1969. – 400 с.
Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. – М. Мир: 1984. – 496 с.
