У картографуванні середнього та великого масштабів використовують систему координат X та Y або X, Y та Z (мал. 1).

Обчислення відстані між точками у прямокутній системі координат засновано на теоремі Піфагора (а2 + b2 = с2). Відстань між двома точками у двовимірному просторі може бути обчислена як гіпотенуза прямокутного трикутника шляхом добування кореня із суми піднесених у квадрат різниць у координатах X та Y. Іншими словами, якщо ми маємо дві точки, (Xa, Ya) та (Xb, Yb), то можемо визначити відстань між ними:

Для перенесення цих обчислень у тривимірне середовище (тобто для обчислення відстані між (Ха, Ya, Za) та (Хb, Yb, Zb)) ми маємо лише додати значення Z до цього рівняння, отримавши таке:

Є три принципові відмінності Декартової системи координат від географічної.

1) За вісь X узято вертикальну, за вісь Y — горизонтальну лінію (у топографії та геодезії орієнтування проводиться по півночі з відрахуванням кутів за ходом годинникової стрілки, а в математиці — від горизонтального напрямку проти ходу годинникової стрілки). Тому для збереження знаків тригонометричних функцій та користування таблицями тригонометричних величин положення осей координат, прийняте в математиці, повернуто на 90°.

2) Координати зони мають порядкові номери від 1 до 60, які зростають із заходу на схід. Західний меридіан першої зони збігається із Гринвіцьким. Отже, координатні осі кожної зони займають чітко визначене положення на земній поверхні. Тому система плоских прямокутних координат будь-якої зони пов’язана з системою географічних координат точок на поверхні Землі. За необхідності можна легко обчислити прямокутні координати за відомими геодезичними координатами й навпаки.

Мал. 1. а) Двовимірна прямокутна система координат; б) тривимірна прямокутна система координат.

Мал. 2. а) Ширина зони на екваторі; б) прямокутна кілометрова сітка; в) визначення прямокутних координат точок на топографічній карті й нанесення точок (цілей) за їх координатами.

3) Для уникнення від’ємних значень Y початок відрахування виносять за межі зони на захід на відстань 500 км від перетину осьового меридіана з екватором. У цьому випадку значення Y будь-якої точки на захід від осьового меридіана зони завжди буде додатним і за абсолютним значенням менше 500 км, а значення У точки на схід від осьового меридіана — завжди більше 500 км. Отже, щоб покрити всю земну поверхню за цим принципом, створюють 60 систем прямокутних координат (за кількістю зон). Оскільки ширина зони на екваторі становить близько 668 км, то в межах однієї зони значення Y може бути від 0 до 834 км, а X — від 0 до 10000 км.

Мал. 3. а) Рамка і кілометрова сітка топографічної карти (1:100000); б) зразок визначення географічних і прямокутних координат точок за картою.

У кожній зоні проводяться лінії кілометрової сітки, утвореної горизонтальними й вертикальними лініями, проведеними паралельно осям прямокутних координат через певну кількість кілометрів. Лінії кілометрової сітки називають кілометровими (мал. 2 а, б).

За допомогою мал. 2 в поясніть, як визначаються прямокутні та географічні координати (указані на малюнку).