МОРСІВСЬКІ ВІДОБРАЖЕННЯ ПОВЕРХОНЬ
Міністерство освіти України
Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна
МАКСИМЕНКО Сергій Іванович
УДК 515.146.174
МОРСІВСЬКІ ВІДОБРАЖЕННЯ ПОВЕРХОНЬ
01.01.04 – геометрія і топологія
АВТОРЕРФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Харків 2000
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті математики НАН України, м. Київ.
Науковий керівник:
ШАРКО Володимир Васильович,
доктор фізико-математичних наук, професор, провідний науковий співробітник Інституту математики НАН України
Офіційні опоненти:
Mіщенко Олександр Сергійович,
доктор фі-зи-ко--ма-те-ма-ти-ч-них на-ук, про-фе-сор, про-фе-сор ка-фе-д-ри ди-фе-ре-н-ці-аль-ної гео-ме-т-рії ме-ха-ні-ко--ма-те-ма-ти-ч-но-го фа-культе-ту Мо-с-ков-сь-ко-го дер-жа-в-но-го уні-вер-си-те-ту ім. М. Ломоносова
Окрут Сергій Іванович,
кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри геометріі Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна
Провідна установа:
Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України ім. Б. І. Вєркіна, математичний відділ
Захист відбудеться 16 червня 2000 р. о 16.30 на засіданні спеціалізованої вченої ради К .051.11 при Харківському національному університеті ім. В. Н. Каразіна (61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48)
З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна за адресою м. Харків, пл. Свободи, 4.
Автореферат розісланий 29 квітня 2000 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради С. Ю. Ігнатович
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Основним об'єктом дослідження даної дисертаційної роботи виступають відображення Морса. Ці відображення відіграють суттєву роль у багатьох розділах математики. Вони виникають у тих випадках, коли розглядаються "стійкі" властивості гладких відображень та їх особливостей.
В дисертації вивчаються деякі нові властивості простору морсівських відображень поверхонь, пов'язані з деформаціями цих відображень та їх спряженістю.
Зовсім недавно ( р.С. В. Матвєєв Кудрявцева Е. А. Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты. // Мат.сб. – 1999. – 190, № . - С. . (В цій роботі наведено доведення С. В. Матвєєва) та В. В. Шарко Шарко В. В. Функции на поверхностях. // Некоторые вопросы современной математики. Праці Інституту математики НАН України, 1998. – 25. – С. незалежно один від одного та використовуючи різні методи отримали повний опис компонент простору M ( R1 функцій Морса на компактній поверхні M . Вони довели, що дві функції Морса f та g на M належать одній компоненті цього простору тоді і тільки тоді, коли вони мають однаковий критичний тип, тобто однакове число критичних точок для кожного індексу, та одні й ті ж множини додатних та від'ємних компонент краю M
Аналогічну задачу можна сформулювати і для періодичного випадку відображень Морса, тобто для відображень Морса в коло S1. Зокрема виникає питання про узагальнення теореми Матвєєва – Шарко на відображення Морса компактних поверхонь в коло. Відповідь на нього складає другий розділ дисертації. Ускладнення ситуації полягає в тому, що простір С ( S1 всіх неперервних відображень M в коло S1на відміну від простору неперервних функцій на M є незв'язним.
Вивчення сімей { fs M R1 }sS функцій Морса залежних від параметру s рівносильне вивченню відображень множини S на якій визначено цей параметр в простір функцій Морса M ( R1Зокрема, якщо S це n-вимірна сфера Snто виникає питання про гомотопічні групи n цього простору. Нагадаємо, що простір називається асферичним, якщо n(X)=0 для всіх Існує гіпотеза В. В. Шарко, про асферичність компонент простору M ( R1де M - компактна орієнтовна поверхня роду .
Простір M ( R1 є нескінченно вимірним многовидом, а тому має гомотопічний тип скінченновимірного CW-комплекса. Якщо M ( R1 є асферичним, то відповідний CW-комплекс буде також асферичним. Відомо також, що для асферичності двовимірних CW_комплексів достатньо тривіальності однієї лише групи 2В руслі цієї гіпотези в четвертому розділі дисертації отримано достатню умову тривіальності групи 2 одного класу просторів, який містить багато CW-комплексів.
Інший аспект теорії відображень Морса, пов'язаний з їх класифікацією. Задача полягає в тому, щоб знайти прості умови того, коли два морсівських відображення відрізняються одне від одного заміною змінних в області визначення та в області значень.
Один з підходів до розв'язку такого типу задач, базується на ідеях, закладених в роботах А. Т. Фоменко в 1986 році з класифікації гамільтонових систем, які потім були розвинені ним разом із С. В. Матвєєвим, Х. Цишангом, А. В. Болсіновим, А. В. Браїловим, А. А. Ошемковим, В. В. Трофимовим, В. В. Шарко та iншими. Ідея полягає в тому, що з функцією канонічним чином зв'язується певний комбінаторний об'єкт – граф з додатковими позначеннями, який з точністю до еквівалентності визначає цю функцію. Подібний підхід був недавно реалізований В. В. Шарко SharkoClassification of Morse functions on surfaces. International conference at Chelyabinsk State University: Lowdimensional Topology and COmbinatorial Group Theory // 1996, pp. 10-13. Його результат можна узагальнити на клас m-функцій, який включає в себе функції Морса. Це пророблено в третьому розділі дисертації.
Зв'язок роботи з науковими програмами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу теорії наближень.
Мета дослідження. Отримати періодичний випадок класифікації компонент простору відображень Морса компактної поверхні. Дати необхідну та достатню умови еквівалентності m-функцій на компактних поверхнях.
Наукова новизна отриманих результатів. Отримано опис компонент простору відображень Морса орієнтовної поверхні в коло. Дано класифікацію m-функцій на поверхнях з кутами.
Практичне значення отриманих результатів. Дисертація має теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані для подальших досліджень в теорії відображень Морса та застосовані до крайових задач математичної фізики.
Особистий внесок здобувача. Результати дисертації отримані автором самостійно.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на міжнародній конференції (Челябінськ, 1999 р.), міському семінарі з теорії функції та семінарах відділу теорії наближень Інституту математики НАН України
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в трьох наукових статтях, а також в тезах доповідей наукової конференції. Список публікацій наведено в кінці автореферату.
Структура і об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації – 110 сторінок.
ЗМІСТ РОБОТИ
У першому розділі зібрані деякі необхідні відомості з теорії Морса та інших галузей математики.
Другий розділ присвячений опису компонент простору відображень Морса компактної орієнтовної поверхні в коло. Спочатку наведемо кілька означень. Всі розглядувані нижче відображення, як що не вказано протилежне, належатимуть до класу С.
Нехай M компактна орієнтовна поверхня і P – або пряма R1 , або коло S1 . Нехай f : M P гладке відображення і x M його критична точка, тобто така точка в якій всі частинні похідні першого порядку відображення f рівні нулю. Критична точка називається невиродженою, якщо гессіан в цій точці є невиродженою матрицею, в противному разі точка x є виродженою. Відображення f називається відображенням Морса якщо воно задовольняє наступним умовам:
* всі критичні точки відображення f невироджені і лежать у внутрішності M ;
* f є постійним на кожній компоненті краю Mпричому образи різних компонент M можуть бути різними.
Дамо означення критичного типу відображення Морса. Для цього зафіксуємо орієнтацію PТоді за відображенням f можна побудувати векторне поле grad f – аналог поля градієнта для функцій. Інтегральні траєкторії цього поля ортогональні лініям рівня відображення f
Крім того, кожній невиродженій критичній точці можна поставити у відповідність число – індекс цієї точки. Фактично це від'ємний індекс гессіана в даній точці, якщо його розглядати як квадратичну форму. Позначимо через ck число критичних точок відображення f індексу kде k , , .
Нехай далі V довільна компонента з MЗа означенням відображення f постійне на Vтому векторне поле grad f одночасно у всіх точках із V направлене або всередину поверхні, або назовні. Поставимо у відповідність компоненті V число V якщо поле grad f направлене назовні M і V –1 в протилежному випадку. В першому випадку назвемо компоненту V додатною, а в другому – від'ємною.
Наступний об'єкт
c0 c1 c2{ V, V V – компонента M }
називається критичним типом відображення Морса.
Нехай f0 та f1 відображення Морса M в PВони належать одній компоненті простору M ( відображень Морса, тоді і тільки тоді, коли існує така однопараметрична сім'я відображень Морса f t t [0,1] яка з'єднує f0 та f1або іншими словами, коли існує гомотопія між f0 та f1яка складається з відображень Морса. Для спрощення формулювань, таку гомотопію називатимемо _гомотопією.
В другому розділі доводиться наступна основна
Теорема (2.3) Два відображення Морса f S1 належать одній компоненті простору відображень Морса M ( S1 тоді і тільки тоді, коли вони гомотопні і мають однаковий критичний тип.
Цей результат базується на теоремі Матвєєва – Шарко про компоненти простору функцій Морса на поверхнях і доповнює її до загальної класифікації компонент просторів відображень Морса компактної орієнтовної поверхні в пряму чи коло.
В розділі 2 доведено необхідність умов цієї теореми для загального випадку морсівських відображень будь-якого многовиду M в пряму та коло (теорема 2.1): якщо відображення Морса f та _гомотопні, то вони мають однаковий критичний тип.
Доведення достатності теореми 1 базується на наступних трьох теоремах, перша з яких є наслідком теореми Матвєєва – Шарко.
Теорема (2.6) Нехай f S1 гомотопні відображення Морса які мають однаковий критичний тип. Припустимо, що знайдуться такі регулярні значення S1 відображень та відповідно, що f –1 (x) = g –1 (y)Тоді відображення f та -гомотопні, тобто належать одній компоненті простору M ( S1.
Отже задача зводиться до того, що маючи два гомотопних відображення Морса однакового критичного типу, потрібно продеформувати їх у просторі M ( M S1 у такі відображення, для яких прообрази деяких регулярних значень співпадають. Наступна теорема показує, що це можна зробити, у випадку коли прообрази регулярних значень не перетинаються:
Теорема (2.5) Нехай f S1 гомотопні відображення Морса. Припустимо, що знайдуться такі регулярні значення S1 відображень та відповідно, що _ (x) g _ (y) . Якщо f та мають однаковий критичний тип, то вони _гомотопні таким відображенням f1 та 1 відповідно, у яких прообрази деякого спільного регулярного значення співпадають.
Загальний випадок відображень Морса зводиться до теореми 3 за допомогою наступної теореми 4.
Теорема .4) Нехай f S1 гомотопні відображення Морса. Тоді вони -гомотопні таким відображенням f1 та 1 відповідно, у яких прообрази деяких регулярних значень S1 відповідно, не перетинаються.
Доведення цієї теореми проводиться індукцією по числу точок перетину прообразів деяких регулярних значень. В доведенні обох теорем та 4 кілька разів використовується теорема Матвєєва – Шарко, а також результати про існування функцій Морса з мінімальним числом критичних точок на компактних поверхнях.
Третій розділ присвячено класифікації m-функцій на поверхнях з кутами.
Нехай M – поверхня з краєм M який представлено у вигляді об'єднання: M V0 V1 V2де V1 та V2 – або порожні множини, або об'єднання деяких кіл та дуг з M V1 V2 ,
V0 M \ V1 V2
а кожна з множин V0k = V0 Vk( , або порожня, або складається із скінченого числа точок. Тоді четвірка M ; V0 V1 V2називається двовимірною поверхнею з кутами.
Скажемо, що функція f M R1 належить до класу С r _функцій на поверхні з кутами , якщо обмеження f на M та на кожну з множин Vk , , належить до класу С r _функцій на цих множинах.
Функція f M [0,1] на поверхні з кутами називається m-функцією, якщо
* вона має лише скінчену кількість критичних точок, всі вони невироджені і лежать в int M
* –1( i )Viдля , 2
* обмеження fM є також функцією Морса на одновимірній множині V0
Нехай f g M R1 дві m-функції на поверхні MКожна з них дає деяке представлення поверхні у вигляді поверхні з кутами. Ці функції еквівалентні, якщо знайдуться такі бієктивні, неперервні в обидві сторони відображення h M , і R1 R1причому зберігає орієнтацію R1що f g h .
В розділіми доводимо необхідну і достатню умови еквівалентності m-функцій на двовимірних поверхнях з кутами. Ідея конструкції може бути виражена наступним чином: для того, щоб з точністю до еквівалентності задати на поверхні m-функцію, достатньо знати структуру критичних рівнів цієї функції та їх положення на поверхні один відносно одного.
За кожною m-функцією на поверхні будується інваріант – так звана "молекула" – скінчений граф з додатковою інформацією (позначеннями). Вона складена з більш простих об'єктів, які називаються "атомами" i в свою чергу сконструйовані з іще простіших об'єктів – "елементарних частинок".
Елементарна частинка – це граф ізоморфний околу критичної точки на критичному рівні, разом з інформацією, що дозволяє відновити m-функцію в околі цієї точки. Атом – це граф ізоморфний вже всьому критичному рівню m-функції, разом з додатковою інформацією, яка дає можливість з точністю до еквівалентності визначити m-функцію в околі даного критичного рівня. Накінець, молекула – це сукупність всіх критичних рівнів m-функції разом з інформацією про їх взаємне розміщення на поверхні.
Для особливих точок m-функцій теж можна ввести поняття індексу YankowskyRubinszteinFunctions woth nondegenerate critical points on manifolds with boundary. // Comm. Math. CVI, 1972, pp. 99-112/. Якщо x M невироджена критична точка то її індекс означається стандартним чином. Якщо ж x M невироджена критична точка обмеження m-функції f на край поверхні, то індекс цієї точки – це пара чисел ( де – індекс точки x як критичної точки обмеження f M , а визначається наступним чином. Вектор grad f в точці x не є дотичним до краю, тому можемо покласти = якщо вектор grad f направлений з поверхні, і = –1 якщо цей вектор направлений всередину поверхні.
Отже у m-функцій на поверхнях може існувати рівно 7 типів особливих точок - три у внутрішності M індексів 0, 1, 2 та чотири типи на M індексів (0, 1) та (1, 1).
Для кожного індексу критичних точок m-функцій будується елементарна частинка. Це граф, ізоморфний критичному рівню в околі цієї точки, на ребрах якого визначено дві інволюції и Вони можуть бути і тотожними відображеннями. Два ребра графа належать одній орбіті інволюції (інволюції якщо вони належать замиканню однієї і тієї ж самої компоненти докритичної (післякритичної) множини m-функції в околі особливої точки.
Наприклад, елементарною частинкою критичної точки індексу 1 називається дерево яке складається з 4-х ребер з єдиною спільною вершиною і парою таких інволюцій та цього дерева, що не мають нерухомих ребер та співпадань, тобто для кожного ребра a E(T) маємо a Аналогічно означаються і інші елементарні частинки.
Основний результат підрозділу
Теорема (3.3) Нехай та – точки відкритих підмножин півплощини R2_ f U R1 та g R1 такі m_функції з особливими точками та q що f ( p g q ). Через Fp та Fq позначимо елементарні частинки цих точок.
* Якщо h : U V таке взаємно однозначне та гладке в обидві сторони відображення (дифеоморфізм), що f , то воно індукує ізоморфізм елементарних частинок Fp q .
* Навпаки, кожен ізоморфізм між елементарними частинками Fp та q індукований таким дифеоморфізмом h між деякими околами U та V точок та що f g h.
В наступному підрозділі вводиться поняття атому критичного рівня. Критичний рівень являє собою граф утворений з графів елементарних частинок даного критичного рівня ототожненням деяких пар кінцевих вершин цих графів. Поняття атому формалізує цю процедуру.
Атомом називається скінчена сім'я елементарних частинок {i } на об'єднанні всіх ребер яких визначено інволюцію (фактично розбиття множини ребер на не більш ніж одноелементні підмножини).
Нехай {i } атом, ототожнимо за допомогою кінцеві вершини елементарних частинок Fi і позначимо отриманий граф через
На графі кожної елементарної частинки i визначено дві інволюції та які можна вважати визначеними в околі кожної вершини графа Нехай – довільне ребро графа K(A) і Z вершина цього ребра. Назвемо _образом ребра в вершині ребро яке виходить з цієї вершини і яке є образом під дією інволюції в околі точки Аналогічно дається означення _образу ребра
Скажемо, що два ребра та графа належать одній _послідовності, якщо їх можна з'єднати простим шляхом 01 ... n складеним з ребер графа таким, що для всіх ..n ребро i є -образом ребра i в їх спільній вершині.
Очевидно, що при цьому множина всіх ребер графа розпадається на диз'юнктні підмножини, які утворюють прості шляхи або цикли. Назвемо класи еквівалентності _шляхами та _циклами, відповідно. Аналогічно означаються _шляхи та _цикли. Крім цього вважатимемо, що кожна елементарна частинка особливої точки індексу 0 (індексу 2) визначає _цикл ( _цикла кожна елементарна частинка особливої точки індексу (0,-1) ( індексу (1, 1)визначає _шлях ( _шлях_
та _шляхи та цикли атому визначають до- та післякритичні рівні критичного рівня, що відповідає даному атому.
Атом називається орієнтованим, якщо кожному _та _шляху та циклу приписано певну орієнтацію.
Наступна теорема показує, що атом визначає m-функцію в околі її критичного рівня з точністю до еквівалентності.
Теорема 6 (3.1) Нехай g : M [–1, ] дві m-функції на поверхні Mкожна з яких має лише одне критичне значення 0 . Позначимо через та атоми їх критичних рівнів.
* Кожен дифеоморфізм h : такий, що hіндукує ізоморфізм атомів
* Навпаки, кожен ізоморфізм між атомами критичних рівнів та індукований таким дифеоморфізмом : що
Останнім кроком в класифікації m-функцій є побудова молекули. Молекулою називається пара де A { i , ..n } – скінчена впорядкована сім'я орієнтованих атомів, а – ін'єктивне відображення, об'єднання -шляхів та циклів всіх атомів в множину -шляхів та циклів цих атомів, яке задовольняє умовам:
1)
зберігає тип маршруту, тобто образ -шляху (цикла) є -шлях (цикл);
1)
збільшує рівень атома, тобто образом кожного -маршруту i_го атому є _маршрут атому із строго більшим номером ніж i ;
1)
для кожного -маршруту орієнтації маршрутів та ( когерентні.
Наступна теорема є основним результатом розділу III.
Теорема (3.2) Нехай ,] дві m-функції на поверхні M . Позначимо через та їх молекули. Тоді
* Кожен дифеоморфізм h : M такий, що f hіндукує ізоморфізм молекул K .
* Навпаки, кожен ізоморфізм між молекулами та індукований таким дифеоморфізмом h : M , що
Вивчення сімей функцій Морса, що залежать від параметру, приводить до питання асферичності CW-комплексів. Це пов'язано з гіпотезою В. В. Шарко про асферичність компонент простору функцій Морса для всіх поверхонь роду g>0. Особливо цікавим є випадок асферичності двовимірних CW-комплексів та тривимірних многовидів. Тому в четвертому розділі розглянуто один клас просторів i дано достатню умову тривіальності другої відносної гомотопічної групи 2 просторів з цього класу. Ця умова використовує поняття гомотопічної групи відображення. Отриманий результат дає широкий клас 3-многовидiв з тривіальною групою 2 Серед них ті, що мають не порожню границю будуть асферичними.
Нехай A та X довільні метричні простори і f : неперервне відображення. Через Cf позначимо циліндр відображення f , тобто простір отриманий з незв'язного об'єднання A ,1] X ототожненням кожної точки ) 1 з точкою f (x) XНехай x A A Тоді група n CfA , x) називається n-тою гомотопічною групою відображення f в точці x , і позначається n f , x
Нехай тепер f + та f – два відображення A в Xі Cf+ та Cf– їх циліндри. Розглянемо простір Y отриманий з незв'язного об'єднання Cf+ Cf– природним ототожненням основ цих циліндрів, тобто точку Cf+ ототожнюємо з точкою Cf–для всіх Aі аналогічно, кожну точку x Cf+ ототожнюємо з точкою x Cf–при x X .
Теорема (4.1) Якщо 2 f + , x 2 f – , x для всіх точок x Aто 2 Y , , у всіх точках z X
Одним із застосувань цієї теореми служить наступне твердження. Нехай S1n - n екземплярів сфери S3для кожного k ..n нехай L k лінк, тобто вкладення незв'язного об'єднання скінченого числа кіл. Позначимо через X – замикання доповнення до регулярного околу L kТоді край X являє собою незв'язне об'єднання двовимірних торів. Нехай k SX k Xі X k XПозначимо число компонент X через mНехай r таке, що r m . Виберемо довільні r компонент Tk( r ) з X , і для кожного r зафіксуємо деяке взаємно однозначне і взаємно неперервне відображення fk2k-1 2kОтотожнимо в просторі X компоненту 2k_ з компонентою T2k за допомогою fkОтриманий простір позначимо через Y
Теорема 9 (4.2) Якщо жоден з лінків L k не є тривіальним вузлом і не розпадається, то 2Y у всіх точках з Y
ВИСНОВКИ
В дисертації отримано наступні результати:
* Проведено класифікацію компонент лінійної зв'язності простору відображень Морса компактної орієнтовної поверхні в коло.
* Встановлено необхідну і достатню умови еквівалентності m_функцій на двовимірних поверхнях з кутами.
* Отримано достатню умову тривіальності другої гомотопічної групи склеєного простору в термінах тривіальності гомотопічних груп приклеюючих відображень.
* Побудовано широкий клас замкнутих тривимірних многовидів з тривіальною групою 2
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ АВТОРА
ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Максименко С. И. Компоненты пространства отображений Морса // Некоторые вопросы современной математики. Праці Інституту Математики НАН України, т. 25, с. 135-153.
2. Максименко С. И. Классификация m-функций на поверхностях. // УМЖ, - 1999, т. 51, № 8, с. 1129-1135.
3. Максименко С. Про топологічні простори у яких 2 = // УМЖ, - 1998, - т. 50, № 8, с. 1144-1146.
4. Maksimenko Pathcomponents of Morse map spaces of surfaces // International conference at Chelyabinsk State University: Lowdimensional Topology and Combinatorial Group Theory // 1999, pp. 31-32.
Максименко С. І. Морсівські відображення поверхонь. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 – геометрія і топологія. - Інститут математики НАН України, Київ, 1999.
Дисертація присвячена вивченню морсівських та більш загального класу так званих m-відображень поверхонь. Проведена класифікація компонент простору морсівських відображень орієнтовної поверхні в коло. Отримана необхідна і достатня умови спряженості m-функцій на двовимірних поверхнях з кутами. Побудовано деякий клас замкнутих 3-вимірних многовидів з тривіальною групою 2 .
Ключові слова: поверхня, відображення Морса, m-функція, асферичність.
Максименко С. И. Морсовские отображения поверхностей. - Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 – геометрия и топология. - Институт математики НАН Украины, Киев, 1999.
Диссертация посвящена изучению морсовских и более общих m_отображений поверхностей. В ней также рассмотрены связанные с этим вопросы асферичности двумерных и трехмерных множеств.
Недавно С. В. Матвеев и В. В. Шарко независимо друг от друга получили классификацию компонент пространства функций Морса на поверхностях. В диссертации рассмотрен периодический случай этой задачи: получена классификация компонент пространства отображений Морса компактной ориентируемой поверхности в окружность. Оказалось, что компоненты однозначно определяются двумя параметрами: гомотопическим классом (т.е. компонентой пространства всех непрерывных отображений поверхности в окружность) и так называемым критическим типом отображения – количеством критических точек каждого индекса и множеством положительных и отрицательных окружностей.
Естественным обобщением функций Морса являются m_функции. В диссертации произведена классификация. таких функций на двумерных поверхностях с углами. Построен конечный инвариант – граф с дополнительной информацией, позволяющий различать эти функции с точностью до замены переменных. Этот результат обобщает работы А. А. Ошемкова и В. В. Шарко по функциям Морса и m_функциям.
В диссертации также изучается связанный с предыдущими вопрос об асферичности двумерных и трехмерных множеств. Получено достаточное условие тривиальности второй гомотопической группы 2 одного класса пространств и как следствие построен широкий класс трехмерных многообразий с тривиальной группой 2Среди них многообразия имеющие непустую границу оказываются асферичными.
Ключевые слова: поверхность, отображение Морса, m-функция, асферичность.
Maksimenkomappings of surfaces. - Manuscript.
Thesis for obtaining the degree of candidate of science in physics and mathematics, speciality 01.01.04 – geometry and topology. Institute of mathematics of Ukrainian National Academy of Science, Kyiv, 1999.
The Morse mappings and m-mappings of surfaces are studied. The classification of components of Morse map space on surfaces is obtained. The necessary and sufficient condition for m_functions on two-dimensional surfaces with angles to be conjugate is given. Some class of closed 3-manifolds with trivial group 2 is constructed.
Key words: surface, Morse map, m-function, aspherity.
Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна
МАКСИМЕНКО Сергій Іванович
УДК 515.146.174
МОРСІВСЬКІ ВІДОБРАЖЕННЯ ПОВЕРХОНЬ
01.01.04 – геометрія і топологія
АВТОРЕРФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Харків 2000
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті математики НАН України, м. Київ.
Науковий керівник:
ШАРКО Володимир Васильович,
доктор фізико-математичних наук, професор, провідний науковий співробітник Інституту математики НАН України
Офіційні опоненти:
Mіщенко Олександр Сергійович,
доктор фі-зи-ко--ма-те-ма-ти-ч-них на-ук, про-фе-сор, про-фе-сор ка-фе-д-ри ди-фе-ре-н-ці-аль-ної гео-ме-т-рії ме-ха-ні-ко--ма-те-ма-ти-ч-но-го фа-культе-ту Мо-с-ков-сь-ко-го дер-жа-в-но-го уні-вер-си-те-ту ім. М. Ломоносова
Окрут Сергій Іванович,
кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри геометріі Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна
Провідна установа:
Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України ім. Б. І. Вєркіна, математичний відділ
Захист відбудеться 16 червня 2000 р. о 16.30 на засіданні спеціалізованої вченої ради К .051.11 при Харківському національному університеті ім. В. Н. Каразіна (61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48)
З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна за адресою м. Харків, пл. Свободи, 4.
Автореферат розісланий 29 квітня 2000 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради С. Ю. Ігнатович
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Основним об'єктом дослідження даної дисертаційної роботи виступають відображення Морса. Ці відображення відіграють суттєву роль у багатьох розділах математики. Вони виникають у тих випадках, коли розглядаються "стійкі" властивості гладких відображень та їх особливостей.
В дисертації вивчаються деякі нові властивості простору морсівських відображень поверхонь, пов'язані з деформаціями цих відображень та їх спряженістю.
Зовсім недавно ( р.С. В. Матвєєв Кудрявцева Е. А. Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты. // Мат.сб. – 1999. – 190, № . - С. . (В цій роботі наведено доведення С. В. Матвєєва) та В. В. Шарко Шарко В. В. Функции на поверхностях. // Некоторые вопросы современной математики. Праці Інституту математики НАН України, 1998. – 25. – С. незалежно один від одного та використовуючи різні методи отримали повний опис компонент простору M ( R1 функцій Морса на компактній поверхні M . Вони довели, що дві функції Морса f та g на M належать одній компоненті цього простору тоді і тільки тоді, коли вони мають однаковий критичний тип, тобто однакове число критичних точок для кожного індексу, та одні й ті ж множини додатних та від'ємних компонент краю M
Аналогічну задачу можна сформулювати і для періодичного випадку відображень Морса, тобто для відображень Морса в коло S1. Зокрема виникає питання про узагальнення теореми Матвєєва – Шарко на відображення Морса компактних поверхонь в коло. Відповідь на нього складає другий розділ дисертації. Ускладнення ситуації полягає в тому, що простір С ( S1 всіх неперервних відображень M в коло S1на відміну від простору неперервних функцій на M є незв'язним.
Вивчення сімей { fs M R1 }sS функцій Морса залежних від параметру s рівносильне вивченню відображень множини S на якій визначено цей параметр в простір функцій Морса M ( R1Зокрема, якщо S це n-вимірна сфера Snто виникає питання про гомотопічні групи n цього простору. Нагадаємо, що простір називається асферичним, якщо n(X)=0 для всіх Існує гіпотеза В. В. Шарко, про асферичність компонент простору M ( R1де M - компактна орієнтовна поверхня роду .
Простір M ( R1 є нескінченно вимірним многовидом, а тому має гомотопічний тип скінченновимірного CW-комплекса. Якщо M ( R1 є асферичним, то відповідний CW-комплекс буде також асферичним. Відомо також, що для асферичності двовимірних CW_комплексів достатньо тривіальності однієї лише групи 2В руслі цієї гіпотези в четвертому розділі дисертації отримано достатню умову тривіальності групи 2 одного класу просторів, який містить багато CW-комплексів.
Інший аспект теорії відображень Морса, пов'язаний з їх класифікацією. Задача полягає в тому, щоб знайти прості умови того, коли два морсівських відображення відрізняються одне від одного заміною змінних в області визначення та в області значень.
Один з підходів до розв'язку такого типу задач, базується на ідеях, закладених в роботах А. Т. Фоменко в 1986 році з класифікації гамільтонових систем, які потім були розвинені ним разом із С. В. Матвєєвим, Х. Цишангом, А. В. Болсіновим, А. В. Браїловим, А. А. Ошемковим, В. В. Трофимовим, В. В. Шарко та iншими. Ідея полягає в тому, що з функцією канонічним чином зв'язується певний комбінаторний об'єкт – граф з додатковими позначеннями, який з точністю до еквівалентності визначає цю функцію. Подібний підхід був недавно реалізований В. В. Шарко SharkoClassification of Morse functions on surfaces. International conference at Chelyabinsk State University: Lowdimensional Topology and COmbinatorial Group Theory // 1996, pp. 10-13. Його результат можна узагальнити на клас m-функцій, який включає в себе функції Морса. Це пророблено в третьому розділі дисертації.
Зв'язок роботи з науковими програмами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу теорії наближень.
Мета дослідження. Отримати періодичний випадок класифікації компонент простору відображень Морса компактної поверхні. Дати необхідну та достатню умови еквівалентності m-функцій на компактних поверхнях.
Наукова новизна отриманих результатів. Отримано опис компонент простору відображень Морса орієнтовної поверхні в коло. Дано класифікацію m-функцій на поверхнях з кутами.
Практичне значення отриманих результатів. Дисертація має теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані для подальших досліджень в теорії відображень Морса та застосовані до крайових задач математичної фізики.
Особистий внесок здобувача. Результати дисертації отримані автором самостійно.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на міжнародній конференції (Челябінськ, 1999 р.), міському семінарі з теорії функції та семінарах відділу теорії наближень Інституту математики НАН України
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в трьох наукових статтях, а також в тезах доповідей наукової конференції. Список публікацій наведено в кінці автореферату.
Структура і об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації – 110 сторінок.
ЗМІСТ РОБОТИ
У першому розділі зібрані деякі необхідні відомості з теорії Морса та інших галузей математики.
Другий розділ присвячений опису компонент простору відображень Морса компактної орієнтовної поверхні в коло. Спочатку наведемо кілька означень. Всі розглядувані нижче відображення, як що не вказано протилежне, належатимуть до класу С.
Нехай M компактна орієнтовна поверхня і P – або пряма R1 , або коло S1 . Нехай f : M P гладке відображення і x M його критична точка, тобто така точка в якій всі частинні похідні першого порядку відображення f рівні нулю. Критична точка називається невиродженою, якщо гессіан в цій точці є невиродженою матрицею, в противному разі точка x є виродженою. Відображення f називається відображенням Морса якщо воно задовольняє наступним умовам:
* всі критичні точки відображення f невироджені і лежать у внутрішності M ;
* f є постійним на кожній компоненті краю Mпричому образи різних компонент M можуть бути різними.
Дамо означення критичного типу відображення Морса. Для цього зафіксуємо орієнтацію PТоді за відображенням f можна побудувати векторне поле grad f – аналог поля градієнта для функцій. Інтегральні траєкторії цього поля ортогональні лініям рівня відображення f
Крім того, кожній невиродженій критичній точці можна поставити у відповідність число – індекс цієї точки. Фактично це від'ємний індекс гессіана в даній точці, якщо його розглядати як квадратичну форму. Позначимо через ck число критичних точок відображення f індексу kде k , , .
Нехай далі V довільна компонента з MЗа означенням відображення f постійне на Vтому векторне поле grad f одночасно у всіх точках із V направлене або всередину поверхні, або назовні. Поставимо у відповідність компоненті V число V якщо поле grad f направлене назовні M і V –1 в протилежному випадку. В першому випадку назвемо компоненту V додатною, а в другому – від'ємною.
Наступний об'єкт
c0 c1 c2{ V, V V – компонента M }
називається критичним типом відображення Морса.
Нехай f0 та f1 відображення Морса M в PВони належать одній компоненті простору M ( відображень Морса, тоді і тільки тоді, коли існує така однопараметрична сім'я відображень Морса f t t [0,1] яка з'єднує f0 та f1або іншими словами, коли існує гомотопія між f0 та f1яка складається з відображень Морса. Для спрощення формулювань, таку гомотопію називатимемо _гомотопією.
В другому розділі доводиться наступна основна
Теорема (2.3) Два відображення Морса f S1 належать одній компоненті простору відображень Морса M ( S1 тоді і тільки тоді, коли вони гомотопні і мають однаковий критичний тип.
Цей результат базується на теоремі Матвєєва – Шарко про компоненти простору функцій Морса на поверхнях і доповнює її до загальної класифікації компонент просторів відображень Морса компактної орієнтовної поверхні в пряму чи коло.
В розділі 2 доведено необхідність умов цієї теореми для загального випадку морсівських відображень будь-якого многовиду M в пряму та коло (теорема 2.1): якщо відображення Морса f та _гомотопні, то вони мають однаковий критичний тип.
Доведення достатності теореми 1 базується на наступних трьох теоремах, перша з яких є наслідком теореми Матвєєва – Шарко.
Теорема (2.6) Нехай f S1 гомотопні відображення Морса які мають однаковий критичний тип. Припустимо, що знайдуться такі регулярні значення S1 відображень та відповідно, що f –1 (x) = g –1 (y)Тоді відображення f та -гомотопні, тобто належать одній компоненті простору M ( S1.
Отже задача зводиться до того, що маючи два гомотопних відображення Морса однакового критичного типу, потрібно продеформувати їх у просторі M ( M S1 у такі відображення, для яких прообрази деяких регулярних значень співпадають. Наступна теорема показує, що це можна зробити, у випадку коли прообрази регулярних значень не перетинаються:
Теорема (2.5) Нехай f S1 гомотопні відображення Морса. Припустимо, що знайдуться такі регулярні значення S1 відображень та відповідно, що _ (x) g _ (y) . Якщо f та мають однаковий критичний тип, то вони _гомотопні таким відображенням f1 та 1 відповідно, у яких прообрази деякого спільного регулярного значення співпадають.
Загальний випадок відображень Морса зводиться до теореми 3 за допомогою наступної теореми 4.
Теорема .4) Нехай f S1 гомотопні відображення Морса. Тоді вони -гомотопні таким відображенням f1 та 1 відповідно, у яких прообрази деяких регулярних значень S1 відповідно, не перетинаються.
Доведення цієї теореми проводиться індукцією по числу точок перетину прообразів деяких регулярних значень. В доведенні обох теорем та 4 кілька разів використовується теорема Матвєєва – Шарко, а також результати про існування функцій Морса з мінімальним числом критичних точок на компактних поверхнях.
Третій розділ присвячено класифікації m-функцій на поверхнях з кутами.
Нехай M – поверхня з краєм M який представлено у вигляді об'єднання: M V0 V1 V2де V1 та V2 – або порожні множини, або об'єднання деяких кіл та дуг з M V1 V2 ,
V0 M \ V1 V2
а кожна з множин V0k = V0 Vk( , або порожня, або складається із скінченого числа точок. Тоді четвірка M ; V0 V1 V2називається двовимірною поверхнею з кутами.
Скажемо, що функція f M R1 належить до класу С r _функцій на поверхні з кутами , якщо обмеження f на M та на кожну з множин Vk , , належить до класу С r _функцій на цих множинах.
Функція f M [0,1] на поверхні з кутами називається m-функцією, якщо
* вона має лише скінчену кількість критичних точок, всі вони невироджені і лежать в int M
* –1( i )Viдля , 2
* обмеження fM є також функцією Морса на одновимірній множині V0
Нехай f g M R1 дві m-функції на поверхні MКожна з них дає деяке представлення поверхні у вигляді поверхні з кутами. Ці функції еквівалентні, якщо знайдуться такі бієктивні, неперервні в обидві сторони відображення h M , і R1 R1причому зберігає орієнтацію R1що f g h .
В розділіми доводимо необхідну і достатню умови еквівалентності m-функцій на двовимірних поверхнях з кутами. Ідея конструкції може бути виражена наступним чином: для того, щоб з точністю до еквівалентності задати на поверхні m-функцію, достатньо знати структуру критичних рівнів цієї функції та їх положення на поверхні один відносно одного.
За кожною m-функцією на поверхні будується інваріант – так звана "молекула" – скінчений граф з додатковою інформацією (позначеннями). Вона складена з більш простих об'єктів, які називаються "атомами" i в свою чергу сконструйовані з іще простіших об'єктів – "елементарних частинок".
Елементарна частинка – це граф ізоморфний околу критичної точки на критичному рівні, разом з інформацією, що дозволяє відновити m-функцію в околі цієї точки. Атом – це граф ізоморфний вже всьому критичному рівню m-функції, разом з додатковою інформацією, яка дає можливість з точністю до еквівалентності визначити m-функцію в околі даного критичного рівня. Накінець, молекула – це сукупність всіх критичних рівнів m-функції разом з інформацією про їх взаємне розміщення на поверхні.
Для особливих точок m-функцій теж можна ввести поняття індексу YankowskyRubinszteinFunctions woth nondegenerate critical points on manifolds with boundary. // Comm. Math. CVI, 1972, pp. 99-112/. Якщо x M невироджена критична точка то її індекс означається стандартним чином. Якщо ж x M невироджена критична точка обмеження m-функції f на край поверхні, то індекс цієї точки – це пара чисел ( де – індекс точки x як критичної точки обмеження f M , а визначається наступним чином. Вектор grad f в точці x не є дотичним до краю, тому можемо покласти = якщо вектор grad f направлений з поверхні, і = –1 якщо цей вектор направлений всередину поверхні.
Отже у m-функцій на поверхнях може існувати рівно 7 типів особливих точок - три у внутрішності M індексів 0, 1, 2 та чотири типи на M індексів (0, 1) та (1, 1).
Для кожного індексу критичних точок m-функцій будується елементарна частинка. Це граф, ізоморфний критичному рівню в околі цієї точки, на ребрах якого визначено дві інволюції и Вони можуть бути і тотожними відображеннями. Два ребра графа належать одній орбіті інволюції (інволюції якщо вони належать замиканню однієї і тієї ж самої компоненти докритичної (післякритичної) множини m-функції в околі особливої точки.
Наприклад, елементарною частинкою критичної точки індексу 1 називається дерево яке складається з 4-х ребер з єдиною спільною вершиною і парою таких інволюцій та цього дерева, що не мають нерухомих ребер та співпадань, тобто для кожного ребра a E(T) маємо a Аналогічно означаються і інші елементарні частинки.
Основний результат підрозділу
Теорема (3.3) Нехай та – точки відкритих підмножин півплощини R2_ f U R1 та g R1 такі m_функції з особливими точками та q що f ( p g q ). Через Fp та Fq позначимо елементарні частинки цих точок.
* Якщо h : U V таке взаємно однозначне та гладке в обидві сторони відображення (дифеоморфізм), що f , то воно індукує ізоморфізм елементарних частинок Fp q .
* Навпаки, кожен ізоморфізм між елементарними частинками Fp та q індукований таким дифеоморфізмом h між деякими околами U та V точок та що f g h.
В наступному підрозділі вводиться поняття атому критичного рівня. Критичний рівень являє собою граф утворений з графів елементарних частинок даного критичного рівня ототожненням деяких пар кінцевих вершин цих графів. Поняття атому формалізує цю процедуру.
Атомом називається скінчена сім'я елементарних частинок {i } на об'єднанні всіх ребер яких визначено інволюцію (фактично розбиття множини ребер на не більш ніж одноелементні підмножини).
Нехай {i } атом, ототожнимо за допомогою кінцеві вершини елементарних частинок Fi і позначимо отриманий граф через
На графі кожної елементарної частинки i визначено дві інволюції та які можна вважати визначеними в околі кожної вершини графа Нехай – довільне ребро графа K(A) і Z вершина цього ребра. Назвемо _образом ребра в вершині ребро яке виходить з цієї вершини і яке є образом під дією інволюції в околі точки Аналогічно дається означення _образу ребра
Скажемо, що два ребра та графа належать одній _послідовності, якщо їх можна з'єднати простим шляхом 01 ... n складеним з ребер графа таким, що для всіх ..n ребро i є -образом ребра i в їх спільній вершині.
Очевидно, що при цьому множина всіх ребер графа розпадається на диз'юнктні підмножини, які утворюють прості шляхи або цикли. Назвемо класи еквівалентності _шляхами та _циклами, відповідно. Аналогічно означаються _шляхи та _цикли. Крім цього вважатимемо, що кожна елементарна частинка особливої точки індексу 0 (індексу 2) визначає _цикл ( _цикла кожна елементарна частинка особливої точки індексу (0,-1) ( індексу (1, 1)визначає _шлях ( _шлях_
та _шляхи та цикли атому визначають до- та післякритичні рівні критичного рівня, що відповідає даному атому.
Атом називається орієнтованим, якщо кожному _та _шляху та циклу приписано певну орієнтацію.
Наступна теорема показує, що атом визначає m-функцію в околі її критичного рівня з точністю до еквівалентності.
Теорема 6 (3.1) Нехай g : M [–1, ] дві m-функції на поверхні Mкожна з яких має лише одне критичне значення 0 . Позначимо через та атоми їх критичних рівнів.
* Кожен дифеоморфізм h : такий, що hіндукує ізоморфізм атомів
* Навпаки, кожен ізоморфізм між атомами критичних рівнів та індукований таким дифеоморфізмом : що
Останнім кроком в класифікації m-функцій є побудова молекули. Молекулою називається пара де A { i , ..n } – скінчена впорядкована сім'я орієнтованих атомів, а – ін'єктивне відображення, об'єднання -шляхів та циклів всіх атомів в множину -шляхів та циклів цих атомів, яке задовольняє умовам:
1)
зберігає тип маршруту, тобто образ -шляху (цикла) є -шлях (цикл);
1)
збільшує рівень атома, тобто образом кожного -маршруту i_го атому є _маршрут атому із строго більшим номером ніж i ;
1)
для кожного -маршруту орієнтації маршрутів та ( когерентні.
Наступна теорема є основним результатом розділу III.
Теорема (3.2) Нехай ,] дві m-функції на поверхні M . Позначимо через та їх молекули. Тоді
* Кожен дифеоморфізм h : M такий, що f hіндукує ізоморфізм молекул K .
* Навпаки, кожен ізоморфізм між молекулами та індукований таким дифеоморфізмом h : M , що
Вивчення сімей функцій Морса, що залежать від параметру, приводить до питання асферичності CW-комплексів. Це пов'язано з гіпотезою В. В. Шарко про асферичність компонент простору функцій Морса для всіх поверхонь роду g>0. Особливо цікавим є випадок асферичності двовимірних CW-комплексів та тривимірних многовидів. Тому в четвертому розділі розглянуто один клас просторів i дано достатню умову тривіальності другої відносної гомотопічної групи 2 просторів з цього класу. Ця умова використовує поняття гомотопічної групи відображення. Отриманий результат дає широкий клас 3-многовидiв з тривіальною групою 2 Серед них ті, що мають не порожню границю будуть асферичними.
Нехай A та X довільні метричні простори і f : неперервне відображення. Через Cf позначимо циліндр відображення f , тобто простір отриманий з незв'язного об'єднання A ,1] X ототожненням кожної точки ) 1 з точкою f (x) XНехай x A A Тоді група n CfA , x) називається n-тою гомотопічною групою відображення f в точці x , і позначається n f , x
Нехай тепер f + та f – два відображення A в Xі Cf+ та Cf– їх циліндри. Розглянемо простір Y отриманий з незв'язного об'єднання Cf+ Cf– природним ототожненням основ цих циліндрів, тобто точку Cf+ ототожнюємо з точкою Cf–для всіх Aі аналогічно, кожну точку x Cf+ ототожнюємо з точкою x Cf–при x X .
Теорема (4.1) Якщо 2 f + , x 2 f – , x для всіх точок x Aто 2 Y , , у всіх точках z X
Одним із застосувань цієї теореми служить наступне твердження. Нехай S1n - n екземплярів сфери S3для кожного k ..n нехай L k лінк, тобто вкладення незв'язного об'єднання скінченого числа кіл. Позначимо через X – замикання доповнення до регулярного околу L kТоді край X являє собою незв'язне об'єднання двовимірних торів. Нехай k SX k Xі X k XПозначимо число компонент X через mНехай r таке, що r m . Виберемо довільні r компонент Tk( r ) з X , і для кожного r зафіксуємо деяке взаємно однозначне і взаємно неперервне відображення fk2k-1 2kОтотожнимо в просторі X компоненту 2k_ з компонентою T2k за допомогою fkОтриманий простір позначимо через Y
Теорема 9 (4.2) Якщо жоден з лінків L k не є тривіальним вузлом і не розпадається, то 2Y у всіх точках з Y
ВИСНОВКИ
В дисертації отримано наступні результати:
* Проведено класифікацію компонент лінійної зв'язності простору відображень Морса компактної орієнтовної поверхні в коло.
* Встановлено необхідну і достатню умови еквівалентності m_функцій на двовимірних поверхнях з кутами.
* Отримано достатню умову тривіальності другої гомотопічної групи склеєного простору в термінах тривіальності гомотопічних груп приклеюючих відображень.
* Побудовано широкий клас замкнутих тривимірних многовидів з тривіальною групою 2
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ АВТОРА
ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Максименко С. И. Компоненты пространства отображений Морса // Некоторые вопросы современной математики. Праці Інституту Математики НАН України, т. 25, с. 135-153.
2. Максименко С. И. Классификация m-функций на поверхностях. // УМЖ, - 1999, т. 51, № 8, с. 1129-1135.
3. Максименко С. Про топологічні простори у яких 2 = // УМЖ, - 1998, - т. 50, № 8, с. 1144-1146.
4. Maksimenko Pathcomponents of Morse map spaces of surfaces // International conference at Chelyabinsk State University: Lowdimensional Topology and Combinatorial Group Theory // 1999, pp. 31-32.
Максименко С. І. Морсівські відображення поверхонь. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 – геометрія і топологія. - Інститут математики НАН України, Київ, 1999.
Дисертація присвячена вивченню морсівських та більш загального класу так званих m-відображень поверхонь. Проведена класифікація компонент простору морсівських відображень орієнтовної поверхні в коло. Отримана необхідна і достатня умови спряженості m-функцій на двовимірних поверхнях з кутами. Побудовано деякий клас замкнутих 3-вимірних многовидів з тривіальною групою 2 .
Ключові слова: поверхня, відображення Морса, m-функція, асферичність.
Максименко С. И. Морсовские отображения поверхностей. - Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 – геометрия и топология. - Институт математики НАН Украины, Киев, 1999.
Диссертация посвящена изучению морсовских и более общих m_отображений поверхностей. В ней также рассмотрены связанные с этим вопросы асферичности двумерных и трехмерных множеств.
Недавно С. В. Матвеев и В. В. Шарко независимо друг от друга получили классификацию компонент пространства функций Морса на поверхностях. В диссертации рассмотрен периодический случай этой задачи: получена классификация компонент пространства отображений Морса компактной ориентируемой поверхности в окружность. Оказалось, что компоненты однозначно определяются двумя параметрами: гомотопическим классом (т.е. компонентой пространства всех непрерывных отображений поверхности в окружность) и так называемым критическим типом отображения – количеством критических точек каждого индекса и множеством положительных и отрицательных окружностей.
Естественным обобщением функций Морса являются m_функции. В диссертации произведена классификация. таких функций на двумерных поверхностях с углами. Построен конечный инвариант – граф с дополнительной информацией, позволяющий различать эти функции с точностью до замены переменных. Этот результат обобщает работы А. А. Ошемкова и В. В. Шарко по функциям Морса и m_функциям.
В диссертации также изучается связанный с предыдущими вопрос об асферичности двумерных и трехмерных множеств. Получено достаточное условие тривиальности второй гомотопической группы 2 одного класса пространств и как следствие построен широкий класс трехмерных многообразий с тривиальной группой 2Среди них многообразия имеющие непустую границу оказываются асферичными.
Ключевые слова: поверхность, отображение Морса, m-функция, асферичность.
Maksimenkomappings of surfaces. - Manuscript.
Thesis for obtaining the degree of candidate of science in physics and mathematics, speciality 01.01.04 – geometry and topology. Institute of mathematics of Ukrainian National Academy of Science, Kyiv, 1999.
The Morse mappings and m-mappings of surfaces are studied. The classification of components of Morse map space on surfaces is obtained. The necessary and sufficient condition for m_functions on two-dimensional surfaces with angles to be conjugate is given. Some class of closed 3-manifolds with trivial group 2 is constructed.
Key words: surface, Morse map, m-function, aspherity.
